Передмова
Методи варіаційного числення знаходять широке застосування в різних галузях науки та виробництва при постановці та розв'язуванні задач моделювання, оптимізації та управління. Володіння ними стає складовою частиною сучасної інженерної освіти.
Цей посібник орієнтований на студентів нематематичних спеціальностей і має на меті допомогти їм під час вивчення та перевірки засвоєння відповідно теоретичного матеріалу і розв'язування задач для самостійної роботи.
Вся тема розбита на окремі модулі-завдання, кожне з яких включає короткі теоретичні відомості, приклади розв'язання типових задач і вправи для самостійної роботи.
У кінці наведено перелік запитань для самоперевірки та підготовки до екзамену (заліку), а також список рекомендованої літератури.
Завдання 1. ФУНКЦІОНАЛ ТА ЙОГО
ВАРІАЦІЯ. ЕКСТРЕМУМ
Поняття про функціонал. Екстремум функціоналу. Класичні задачі варіаційного числення. Варіація функції та приріст функціоналу. Неперервність функціоналу. Лінійний функціонал. Перша та друга варіації функціоналу.
1.1. Поняття про функціонал
Нехай задано деякий клас D функцій . Якщо кожній функції із класу D за деяким законом ставиться у відповідність певне числове значення змінної I, то ця змінна І називається функціоналом від однієї функціональної змінної і позначається .
Клас D функцій , на яких визначений функціонал, називається областю визначення функціоналу. При цьому функція служить незалежною змінною (аргументом) функціоналу. Функції із області визначення D даного функціоналу І називаються функціями порівняння або допустимими функціями.
Кожну функцію , яка належить області визначення D функціоналу І[у], можна розглядати як точку (елемент) деякої множини (простору) функцій. Простори, елементами яких служать функції, називаються функціональними просторами. Можна сказати, що функціонал — це функція, в якої значеннями незалежної змінної є точки (елементи) функціонального простору, а значеннями залежної змінної І — числа.
Можна розглядати також функціонали від кількох незалежних функціональних змінних. Якщо скінчен ному набору функцій з певного класу функцій D ставиться у відповідність за деяким законом певне числове значення змінної І, то І називається функціоналом від n функціональних змінних і позначається .
Приклад 1. Обчислити заданий функціонал при заданих значеннях аргументу:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Розв'язання.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Надалі будемо розглядати, в основному, функціонал вигляду , областю визначення якого служить клас функцій , що визначені та неперервні разом з першою похідною на відрізку .
1.2. Екстремум функціоналу
Відстанню нульового порядку між функціями (лініями) і на відрізку називається невід'ємне число При цьому вважається, що розглядувані функції і неперервні на відрізку .
Відстанню першого порядку між функціями (лініями) і на відрізку називається невід'ємне число При цьому вважається, що розглядувані функції і неперервні разом зі своїми першими похідними на відрізку .
Приклад 2. Знайти відстань першого порядку між кривими і на відріз ку .
Розв'язання.
Розглянемо функції і . Знайдемо їх найбільші та найменші значення на відрізку :
Тоді
Нехай D1 — деякий клас функцій порівняння (підмножина області визначення D) функціоналу . Функціонал має в цьому класі D1 абсолютний мінімум (максимум), який реалізується функцією , якщо для довільної функції виконується рівність .
Функціонал має в класі D1 локальний або відносний мінімум (максимум), який реалізується функцією , якщо для довільної функції , яка близька до функції , виконується рівність
Максимуми і мінімуми називаються екстремумами.
Якщо близькість функцій розуміється в смислі відстані нульового порядку, тобто , де — досить мале число, то такий відносний екстремум називається сильним.
Якщо близькість функцій розуміється в смислі відстані першого порядку, тобто , де — досить мале число, то такий відносний екстремум називається слабким.
Н...
